☆ Caractérisation de la convexité et applications

On admet le résultat suivant :  \(f\)  est une fonction convexe sur un intervalle \(I\)  si et seulement si, pour tous réels \(x \text { et } y\)  de \(I\) , pour tout \(\lambda\in[0\ ;1]\) , \(\boxed{f\left(\lambda x+\left(1-\lambda \right)y\right)\leqslant\lambda f(x)+\left(1-\lambda\right)f(y)}\) .

Il s'agit de la traduction mathématique du fait que la courbe représentative d'une fonction \(f\)  convexe est en-dessous de ses sécantes sur \(I\) .

On obtient une définition analogue en remplaçant «  convexe » par «  concave » et «  \(\leqslant\) » par «  \(\geqslant\)  ».

1. Soit \(x\)  et \(y\)  deux réels strictement positifs. Soit \(p\)  et \(q\)  deux réels strictement positifs tels que \(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1\)  . En utilisant la concavité de la fonction `\ln` , montrer que \(\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geqslant xy\) .

2. Soit \(f\)  une fonction convexe sur \(\mathbb R_+\)  telle que \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)=0\) . Démontrer que \(f\)  est positive sur \(\mathbb R_+\) .